Základy goniometrie

Původně jsem chtěl napsat článek o vyjádření komplexních čísel v goniometrickém tvaru, ale pak mi došlo, že pokud nezvládáte goniometrii, tak by vám to bylo celkem k ničemu :). Už z předchozí věty je jasné, že tento článek není určen těm, kdo goniometrii perfektně zvládají. Pokud goniometrii zvládáte, tak budete asi trošku zklamáni. Pokud nevíte, co to je, tak čtěte dál :).

Nejprve popíšu goniometrické funkce v trojúhelníku, tak, jak se to učí už na základní škole. Základní goniometrické funkce jsou sinus a tangens a k nim "opačné" cosinus a cotangens. Značí se sin, cos, tg a cotg. Do matematického zápisu je napíšeme tak, že napíšeme jméno funkce + mezeru + hodnota, ze které chceme spočítat hodnotu dané funkce. Např.

x = 2 + cos 5

cos 5 + 3

myslíme tím "kosinus pěti plus tři", ne "kosinus osmi". Aby z toho vzniklo cos 8, muselo by se 5 + 3 uzavřít do závorky: cos (5 + 3). Ale to jen tak pro informaci.

Zatím jsem neřekl, co to goniometrické funkce jsou a co je ono číslo, "ze kterého se počítají" (jejich "parametr", v předchozím případě 5, resp. 8). Goniometrické funkce se používají na počítání s úhly. V pravoúhlém trojúhelníku jsou definovány takto:

Jak je vidět, cotg je pouze funkce převrácená k funkci tg. Pokud známe hodnotu jedné, známe zjevně i hodnotu druhé:

a naopak. Jak si zapamatovat tyto vzorce? Funkce, která nemá "co-" před svým názvem je vždy vzdálenější odvěsna děleno "něčim" :). To něco závisí na funkci - u sinu je to přepona, u tangentu je to bližší odvěsna. U "co-" funkce pouze mění to, co dělíme, na bližší odvěsnu. Funkce převrácená k funkci sin (1/sin x) je sekans a funkce převrácená k funkci cos je cosekans. Tyto funkce se v praxi téměř nepoužívají, takže se o nich nebudu rozepisovat. Než začnu uvádět další vzorečky, ukážu praktický příklad využití goniometrických funkcí. Příklad:

Spočítejte druhou odvěsnu v pravoúhlém trojúhelníku ABC, víte-li že jedna její odvěsna je dlouhá 2 cm a svírá s přeponou úhel 50°.

Řešení: Budete potřebovat kalkulačku, která umí počítat goniometrické funkce. Takže co víme?

Teď stačí jen dosadit do kalkulačky a snadno zjistíme, že strana b je přibližně 2,4 cm. Tohle byla ukázka nejzákladnějšího použití goniometrických funkcí. Nyní uvedu další vzorce:

Což se dá logicky odvodit:

Ale co když známe hodnotu goniometrické funkce, ale neznáme úhel? K tomu jsou určené "arc-" funkce. Existuje arcsinus, arccosinus atd. (Na kalkulačkách se většinou značí např. sin^-1, což není zrovna moc přesné). Pro všechny goniometrické funkce tedy platí ("gon" je obecně nějaká goniometrická funkce):

Pokud tedy víme, že pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 3 cm a 4 cm a máme zjistit, jaký svírají úhel s přeponou, použijeme funkci tangens:

Myslím, že teď už byste měli mít aspoň nějaké povědomí, co to goniometrické funkce jsou. V příštím článku uvedu práci na jednotkové kružnici s goniometrickými funkcemi a pár dalších vzorců.